Teoremas de incompletitud de Gödel
Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres
teoremas de lógica matemática demostrados por Kurt Gödel en 1931. Ambos están
relacionados con la existencia de proposiciones indecidibles en ciertas teorías
aritméticas.
El primer teorema de incompletitud afirma que, bajo
ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal capaz de describir los
números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez
consistente y completa. Es decir, si los axiomas de dicha teoría no se
contradicen entre sí, entonces existen enunciados que no pueden probarse ni
refutarse (usando sólo las reglas de deducción de dicha teoría). Las teorías
aritméticas para las que el teorema es válido son básicamente aquellas en las
que la deducción de teoremas puede realizarse mediante un algoritmo (y por
tanto el conjunto de axiomas sea recursivamente enumerable).
La prueba del teorema es totalmente explícita: en ella se
construye una fórmula, denotada habitualmente G en honor a Gödel, para la que
dada una demostración de la misma, puede construirse una refutación, y
viceversa. Sin embargo, la interpretación natural de dicha sentencia en
términos de números naturales es verdadera.
El segundo teorema de incompletitud es un caso particular
del primero: afirma que una de las sentencias indecidibles de dicha teoría es
aquella que "afirma" la consistencia de la misma. Es decir, que si el
sistema en cuestión es consistente, no es posible probarlo dentro del propio
sistema.
Los teoremas de incompletitud de Gödel son uno de los
grandes avances de la lógica matemática, y supusieron —según la mayoría de la
comunidad matemática— una respuesta negativa al segundo problema de Hilbert.
Kurt Gödel a los 19 años de edad, cinco años antes de la
demostración de los teoremas.
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